第348章思维突破常规

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    时珈一低头看了一眼自己的卷子，心中非常了然！
    后世控制论中最常见的饱和逼近技巧，把不连续的符号函数用光滑的双曲正切函数近似。
    这个方法在1955年，至少在她所知的范围，确实还没有被系统地提出来过。
    库兹涅佐夫，为了你，我付出的实在太多！
    她笑了笑，表情镇定得不像一个刚被四位顶尖数学家同时提问的学生。
    因为她是鲍曼的骄傲！她刚经历了一场彻头彻尾的洗礼仪式！
    “教授，我当时的想法很简单。”
    “符号函数在零点处是不连续的，物理系统里不存在真正的瞬时跳变。任何控制信号的切换都需要时间，虽然这个时间可能很短，但理论上它存在一个过渡过程。所以我在想，能不能用一个连续函数来逼近这个不连续的跳变？双曲正切函数的饱和特性恰好符合这个需求，当输入足够大的时候它趋近于正负一，在零点附近光滑过渡。”
    盖尔范德眼睛亮了一下，追问道：“那你怎么确定这个逼近不会影响最优性？原问题的结论是先加速后减速，你的计算也得出了同样的结论，但你有没有想过，在某些边界条件下，这种光滑逼近可能会丢失最优解？”
    时珈一没有犹豫：“教授，光滑逼近确实可能丢失严格意义上的bang-bang控制的最优性，但工程应用中，物理系统的惯性、时滞、非线性等因素本身就会把理想的不连续控制抹平成连续过程。从这个角度说，光滑逼近给出的解，在工程意义上可能比理想解更接近真实情况。至于数学上的最优性，只要逼近足够精确，极限情况下的误差可以控制在任意小的范围内。”
    博戈留波夫在旁边听了一会儿，忽然插了一句：“你刚才说的这些，是你们鲍曼控制论课程上讲过的，还是你自己想的？”
    时珈一顿了一下，脸上表现得非常诚实。
    “我之前发表了一篇关于闭环控制系统的论文，在实验的过程中，自己琢磨出来的。而且这篇论文里面就遇到了类似的问题，理想的开关控制会导致系统振荡，必须用连续信号来逼近才能稳定运行。”
    这话说的半真半假，反正她论文都做完了，数学数据都是自己经手的。
    柯尔莫哥洛夫一直没有说话，只是在旁边静静地听。
    等盖尔范德问完了，他才慢慢开口，一出声所有人都安静了下来。
    “时珈一同学，你提到的这个光滑逼近方法，有没有考虑过用在概率论的问题上？”
    “比如说，处理带有概率约束的最优控制问题。特征函数是不连续的，用双曲正切函数去逼近它，可以大幅简化计算。你觉得这个方向可行吗？”
    时珈一：“........”
    不愧是数学家，柯尔莫哥洛夫问的这个问题，在后世已经是很成熟的方向，平滑逼近在随机控制中的应用非常广泛。
    但在这个年代，这个想法还很超前。
    “院士，我不太懂概率论，但从工程的角度说，任何不连续的约束条件都可以用光滑函数来近似。特征函数本质上是一个指示函数，用双曲正切去逼近它，应该能把非光滑的优化问题转化成光滑的，这样就可以用梯度法来求解了。”
    她斟酌了一下措辞：“至于具体怎么用、适用范围有多大，我还没有深入研究过。但我觉得这个方向是可行的。”
    柯尔莫哥洛夫听完，嘴角扬起。
    任何一个公式的出现，都需要经过疯狂的测算，但时珈一这个平滑逼近法，却不是公式，只是用了以前的函数来构造一个平滑的近似函数，去掉它的固定性。
    简单而言，就是把复杂的问题简单化了。也是概率中的约束优化。
    庞特里亚金一直没说话。等柯尔莫哥洛夫问完了，他才慢悠悠地开口。
    “你用光滑逼近绕过了符号函数的不连续性，这个思路在数学上不是最严格的，在工程上却可能是最有用的。”
    确实，这个方法在信号处理、控制工程、人工智能以及金融数学等多个领域有着非常广泛的实际用途。
    但鲜少有人用它来做数学题。
    这也是为什么她会用的原因，她是工程师，用一个工程的方法来做题怎么了？很矛盾吗？
    时珈一微微翘起嘴来。她笃定大家都发现不了异常。
    庞特里亚金墨镜后面的脸转向时珈一的方向，又继续说：“庞特里亚金最小值原理是数学上严格的。你的方法其实并不够严格。”
    只是他为什么还是会打满分？
    因为这是给思维突破常规的学生的奖励。
    时珈一：“.........”
    她其实也知道，自己用平滑逼近法来求导确实是属于脱裤子放屁，多此一举。
    两种方法中，之前的sgn函数是最简洁的。
    但这不是为了夺冠吗？
    庞特里亚金没有给她琢磨如何回答的时间，继续说下去：“用光滑逼近得到的解，也必须回到原问题中去验证它的最优性。这说明你跳过的那些严格性，不能永远跳过。”
    时珈一郑重点头：“我记住了。谢谢院士。”
    盖尔范德在旁边笑了笑，他认真地说：“比赛前十的学生，可以参加我的讨论班，我的讨论班在鲍曼也有开设，你打算什么时候过来上课？”
    时珈一还没来得及回应，博戈留波夫却先开口了：“盖尔范德，你那个讨论班偏分析，她做控制的，来我的组更合适。”
    虽然自己的学生贝拉输了，但是把夺第一的学生争取过来，就不算输！
    “你的组偏微分方程，她刚才说的那些东西跟你的方向有什么关系？”盖尔范德不紧不慢地回了一句。
    “最优控制问题的解就是偏微分方程。”博戈留波夫眉头皱起。
    “那是哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，不是你的非线性波动方程。”
    “.........”
    两人就此事旁若无人地争执了起来。
    时珈一：“........”
    她看了看身后那一圈沉默的教授，一时无言。
    又偷偷看了一眼柯尔莫哥洛夫。这人正端着茶杯慢慢喝茶，嘴角的笑意若隐若现，完全没有要叫停的意思。
    不要拿这个来考验同志啊！同志意志非常不坚定！

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